안녕? 이제 추워져서 겨울이 온 것 같아.이제 기말고사가 2주일 남짓 남은 상황이다.
다들 아직 많이 남았다고 생각하지 말고 중간고사 참사를 떠올리며 슬슬 준비를 시작하자!
오늘 배울 내용은 8.5 단원 부분의 분수 분해에 관한 내용이다.
새로운 진도는 항상 스트레스지만 이번에는 다르다.
어려운 적분식이 난무하는 극악무도한 8단원 가운데 잠시 숨을 돌릴 수 있는 쉼터 같은 단원들이다.
지금까지 적분에 대해 배우면서 다양한 형태에 대한 적분 방법을 배웠다.
하지만 이번에는 조금 다르다.
그동안 볼 수 없었던 형태가 등장한다.
그래서 이러한 식은 어떻게 적분할 것인가에 대해 배우는 단원이 지금 배우는 8단원이고, 그 방법의 하나인 부분분수분해에 대해 배우는 시간을 갖자!
부분분수분해(Partial Fraction)란? 부분분수분해란 분모가 인수분해 가능할 때 복잡한 형태의 분수를 작은 분수의 합 또는 차로 나누는 것이다.
백문은 일견 보기 어려우니 바로 예로 함께 보자.오른쪽 변에 있는 분수의 분모를 살펴보자.분모는 (x+1)과 (x-1)의 곱이다.
너무 복잡하다.
그래서 이 분수를 좀 더 쉽게 나타낸 것이다.
이와 같이 복잡한 형태의 분수를 보다 간단한 분수의 합으로 나타내는 과정을 부분 분수 분해라고 한다.
오늘은 부분분수분해 세 가지 유형에 대해 알아보도록 하겠습니다.
이제 부분분수분해 과정을 좀 더 자세히 살펴보자. Type 1: Linear Factors의 첫 번째 식별 형태는 Linear Factors이다.
문자 그대로 일차 함수로 구성된 함수를 부분 분수 분해하는 것이다.
아까 부분 분수 분해가 뭔지 알아보기 위해 나온 식이다.
이 분수의 분모를 보면 두 개의 일차식 곱으로 나타나 있다.
이러한 분수의 형태를 Linear Factors라고 한다.
Linear Factors의 형태는 각각 Factor를 분모로 하는 분수의 합으로 나타내야 한다.
일단 위 식을 분모가 각각 (x+1), (x-1)인 분수 형태로 나타내야 한다.
분자는 상수 형태로 나타나지만 아직 분자를 모르기 때문에 일단 A와 B로 나타낸다.
일단 A와 B를 구하기 위해 오른쪽 변의 2분의 1을 통분하자.또 원래 음식에 넣으면 이렇게 돼.양변의 분모가 같아서 분자만 남겨준다.
Linear Factors의 모양을 푸는 방법은 2가지가 있다.
대학입시의 방법과 전개 방법이다.
여기서 두 가지 방법으로 푸는 방법이 나뉜다.
우선 대학입시 방법을 알아보자.미지수 2개면 값이 매겨지지 않아. x자리에 적당한 숫자를 넣어서 없애주면 좋을 것 같아. x자리에 -1을 넣어서 B의 계수를 0으로 하고 A만 남기자.A의 값을 얻었다!
앞으로 같은 방법으로 x자리에 1을 넣고 B도 찾아보자.A와 B의 값을 성공적으로 얻었으니 원래 식에 대입해 주자.이번에는 전개 방법으로 풀어보자.다시 아까 방법이 나뉘었던 부분으로 돌아가보자.전개 방법에서는 문자 그대로 전개를 한다.
이렇게 되면 각 변의 x의 계수와 상수항이 같다는 점을 이용하여 연립방정식을 세워준다.
연립 방정식을 풀면
A=-2, B=1에서 아까와 같은 값이 나왔음을 알 수 있다.
여기서는 연립 방정식을 푸는 과정을 생략해 간단해 보이지만 분해를 하는 분수가 복잡할수록 시간을 엄청나게 먹는 방법이다.
Type 2 : Repeated linear factors 이번에는 또 다른 형태의 분수를 분해해 보자.분수의 분모가 일차식의 반복평방형으로 표현되어 있는 형식이다.
예를 보자.분모가 (x-1)의 반복평방 형태로 나타나 있다.
이러한 모양은 분모가 각각 원래의 분모에서 차수를 하나씩 뺀 식으로 놓고 풀면 된다.
x말이 조금 복잡하지만 보면 이해할 수 있을 것이다.
분모가 각각 원래의 분모인 (x-1)^2와 차수를 하나 뺀 (x-1)으로 해서 풀었다.
여기서 알아야 할 것은 분자는 앞서 배운 linearfactors 형태와 마찬가지로 상수이다.
아까와 마찬가지로 오른쪽 변을 통분해서 분자만 남기자.이번에는 대학입시 방법만으로 풀어본다.
x자리에 1 넣어주자.B의 가격을 얻었으니 다시 넣어줄게. x는 A를 구하기 쉽도록 2에 둔다.
A와 B의 값을 원래의 식에 넣어준다.
Type 3 : Quaddratic factor whichcannot befactorised 이번에는 분모를 인수분해 했을 때 한 인수의 차수가 2인분수를 분해해 본다.
언뜻 보면 첫 번째 형식은 Lineafactors와 같아 보이지만 뭔가가 다르다.
분모의 차수가 2인 분수를 보면 분자의 차수가 1이다.
하지만 푸는 방법은 같으니 걱정하지 말자.오른쪽 변을 통분해서 분자만 남기자 x에 적절한 수를 넣고 A, B, C를 찾아보자.A, B, C를 원래 식에 넣어주자.실생활 활용 예, 이렇게 우리가 세 가지 부분 분수 분해를 배워봤다.
이렇게 우리가 구한 음식을 어떻게 실생활에 이용할 수 있을까.연희 : 철수야 나 좀 도와줘.
철수: 왜 그래?
영희: 저는 그림을 그리고 있습니다.
그래서 선을 하나 그었는데 이 선식을 구하고 싶어.그런데 이 선 그래프의 도함수가 (5x^2+20x+6)/ (x^3+2x^2+x)인 것밖에 모른다.
철수: 그럼 그 도함수를 적분하면 되잖아.
하지만 이것은 제가 지금까지 배운 적분법으로는 해결할 수 없다고 생각합니다.
철수: 영희야!
너는 아직 Partial Fractions에 대해 배우지 못했구나?나 하는 거 잘 봐.철수: 여기서 Partial fraction을 사용해야 한다.
철수 : A, B, C, D를 구하는 부분은 너무 길어서 생략할게.분해하면 이렇게 식이 나와.철수:여기서 할 수 있겠지?
영희: 응!
할 수 있어!
영희: 와!
내가 그린 선의 그래프를 알게 되었어!
!
!
Partial fraction을 이용하면 내가 못 풀 것 같던 적분식도 풀리겠네.철수 : 그래!
이제 적분식이 복잡한데 분모를 인수분해 할 수 있으면 Partial fraction을 사용해서 풀어봐!
영희: Partial fraction이 이렇게 실생활에 도움이 될 줄 몰랐어!
철수: 정말 신기하죠?억지 부릴 것 같아?하지만 지금 배우고 있는 내용은 대학 과정이기 때문에 실생활에 쓸 만한 것이 적다는 것을 이해해 주기 바란다.
그래도 이런 상황을 살다 보면 한번쯤 마주볼 수도 있지 않을까?
마무리 기독교의 세계관과 느낀 점은 이번 단원들을 배우면서 이 Partial Fraction이 하나님의 모습과 정말 비슷하다고 생각했다.
우리가 살다 보면 큰 시련에 직면한다.
이런 시련이 닥쳤을 때 우리는 우리 힘으로 해결하려다 좌절되곤 한다.
그러나 우리가 약하다는 것을 깨닫고 하나님 앞에 나아가 힘을 구하면 어떤 시련이라도 이겨낼 수 있는 힘을 우리에게 준다.
적분식도 마찬가지다.
우리가 갖고 있는 기본적인 적분 공식만으로는 문제를 해결할 수 없다.
Partial fraction을 활용해야만 이 문제를 해결해 나갈 수 있다.
이번 단원을 배우면서 지금까지 배운 개념보다 이해하기 쉬웠던 것 같다.
이번 단원과 관련된 문제를 풀 때 열쇠는 Partial fraction을 사용해야 풀 수 있는 적분식인지를 구별하는 것이라고 생각한다.
시간이 부족하다고 무작정 알고 있는 적분 공식을 시도해 보기보다는 형태를 잘 분석하고 어떤 방법을 쓰면 풀릴지 생각하는 시간을 갖는 것이 필요하다고 생각한다.
프린트에 있던 문제는 다 할 수 있을 것 같은데 적분식이 여기서 더 복잡해지면 푸는 데 너무 많은 시간이 걸릴까 걱정이다.
이상으로 이번 포스팅을 마치겠다.